Eine Laserschweißung simulieren und durch sie hindurch optimieren

Auf dieser Seite geht es meist um KI-Workflows. Dieser Beitrag bewusst nicht, denn der Sinn von Krylov ist, das zu nehmen, was das Problem tatsächlich braucht. Und viele Ingenieursprobleme löst man nach wie vor am besten mit klassischer Numerik. Hier ist eines vollständig durchgerechnet.

Laserschweißen ist aus der Nähe ein empfindlicher Prozess. Ein eng fokussierter Strahl fährt eine Naht entlang und schmilzt ein kleines Metallbad auf, oft nicht größer als ein Reiskorn, das mit ihm wandert. In diesem Bad strömt das flüssige Metall, getrieben von Unterschieden in der Oberflächenspannung; die Wärme eilt dem Strahl voraus und zieht in einer langen Spur hinterher; und wenn alles abkühlt und erstarrt, bleibt das Bauteil leicht verzogen zurück. Jeder dieser Teile beeinflusst die anderen, deshalb muss man sie alle gleichzeitig verfolgen.

Ein gekoppeltes Modell

Ich habe das Ganze als ein einziges gekoppeltes Finite-Elemente-Modell gebaut: die Strömung im Schmelzbad, den Wärmetransport durch die Platte und die Erstarrung, die beide verbindet, gelöst als ein System statt als drei lose verbundene Simulationen. Es läuft in jNO, einer kleinen Finite-Elemente-Bibliothek, an der ich arbeite und in der der Code am Ende wie die Gleichungen selbst aussieht: jeder Term des Systems ist eine Zeile.

Nichts davon ist maschinelles Lernen. Es sind die Navier-Stokes-Gleichungen, gekoppelt an den Wärmetransport, mit Taylor-Hood-Elementen diskretisiert, mit dem impliziten Euler-Verfahren in der Zeit fortgeschritten und in jedem Schritt mit dem Newton-Verfahren gelöst. Computational Physics aus dem Lehrbuch, sauber gemacht.

Was es nützlich macht

Der gesamte Zeitschritt ist differenzierbar. Weil jeder Schritt der Lösung seine eigenen Ableitungen mitführt, ist das Modell nicht nur ein Vorwärtssimulator, den man laufen lässt und betrachtet, sondern etwas, durch das man hindurch optimieren kann. Die Jacobi-Matrix, die das Newton-Verfahren braucht, entsteht durch automatisches Differenzieren des Residuums statt durch Herleiten von Hand. Dieselbe Mechanik erlaubt die Frage, wie sich das Ergebnis mit Leistung oder Bahn des Lasers verschiebt.

Genau dort verdient sich ein modernes, ML-nahes Werkzeug seinen Platz auf dem klassischen Modell: nicht, indem es die Physik ersetzt, sondern indem es sie rückwärts laufen lässt.

Die Laserleistung auslegen

Zwei verschiedene Legierungen zu verschweißen ist gerade deshalb schwer, weil sie keine thermischen Eigenschaften teilen. Führt man den Strahl über eine Naht von einem gut leitenden Metall in eines mit halber Leitfähigkeit, überhitzt die zweite Seite bei konstanter Leistung. Das ist der Bereich, in dem Verbindungen ungleicher Metalle, etwa Kupfer-Aluminium-Batteriezellverbinder, spröde werden oder durchbrennen.

Lässt sich die Laserleistung also so steuern, dass die Naht entsteht, als wäre es ein einziges Metall? Ich habe die Leistung zu einer trainierbaren Funktion der Zeit gemacht und das Modell gebeten, die Spitzentemperatur am Strahl über die Naht hinweg auf dem Einzelmaterial-Ziel zu halten. Der Gradient der Überhitzung bezüglich des gesamten Verlaufs kommt direkt aus dem Differenzieren durch den gekoppelten Zeitmarsch, ohne von Hand hergeleiteten Adjungierten, und ein paar Dutzend Optimierungsschritte erledigen den Rest.

Zwei Diagramme: die Spitzentemperatur am Strahl bei konstanter Leistung, die hinter der Naht überschießt, gegenüber einem optimierten Leistungsverlauf, der dem Einzelmaterial-Ziel folgt; und der Verlauf selbst, der in der leitenden Legierung volle Leistung hält und in der isolierenden auf etwa das 0,78-Fache absenkt. — Links der Naht verhalten sich beide Metalle gleich, rechts halbiert sich die Leitfähigkeit. Konstante Leistung überschießt das Einzelmaterial-Ziel; der optimierte Verlauf, volle Leistung in der leitenden Legierung, dann eine Absenkung um etwa 22% in der isolierenden, drückt die Überhitzung um rund zwei Drittel. Der Optimierer hat das allein aus der Physik gefunden.

Der gefundene Verlauf ist interpretierbar, und das ist wichtig: etwa volle Leistung durch die leitende Legierung halten, dann auf rund 0,78× absenken, sobald der Strahl auf die isolierende Seite übertritt.

Ehrlicher Rahmen

Das ist ein Machbarkeitsnachweis für das Regelungsproblem, gerechnet auf einem bewusst groben Netz mit verbreiterter Wärmequelle, damit die Gradientenschleife günstig bleibt, kein produktiver Schweißplan. Der Punkt ist enger und, wie ich finde, nützlicher: Dasselbe Modell, das die Schweißung simuliert, lässt sich umkehren und zur Auslegung des Prozesses befragen. Genau das ist der Grund, die Physik so aufzuschreiben.

Die vollständigen Herleitungen, die Validierung gegen die analytische Rosenthal-Lösung und die interaktive Fassung mit dem gelösten Schmelzbad liegen anderswo:

Die interaktive Fassung, mit der Schmelzbad-Animation, die sich drehen und durch die Zeit scrubben lässt (auf Englisch).
Arbeitspapier (PDF), Herleitungen, die schwache Form und der praktische Rahmen des differenzierbaren FEM (auf Englisch).